扩展欧几里得是干什么的？给定两个数a,b，设Gcd(a,b)=d(d是a,b的最大公约数)，则存在整数x,y，使得x*a+y*b=d。

扩展欧几里得可以求出x,y。怎么求呢？我们知道，Gcd(a,b)=Gcd(b,a%b),而我们也就是运用这个东西来求a和b的最大公约数的。

因此，设bx+(a%b)y=d,即bx+(a-a/b*b)y=d,所以：ay+b*(x-a/b*y)=d。因此我们可用下面的代码解决：

 

int64 exGcd(int64 a,int64 b,int64 &x,int64 &y)

{

    int64 r,t;

    if(b==0)

   {

       x=1;

       y=0;

       return a;

   }

   r=exGcd(b,a%b,x,y);

   t=x;

   x=y;

   y=t-a/b*y;

   return r;

}

这个程序返回值为Gcd(a,b)，ax+by=Gcd(a,b)，其中x,y分别存在x,y中。

当然，如果给出的是求ax+by=c，这时当且仅当Gcd(a,b)可以整除c时x,y有整数解。这个很好证明，设Gcd(a,b)=d,那么a=d*k1,b=d*k2,所以ax+by=d*(k1*x+k2*y)，即ax+by必为d的倍数，所以c必为d的倍数，即d必能整除c。这样的话，先求ax+by=d的一组解x0,y0，设k=c/d,则k*x0,k*y0就是一组解。

 

另外，扩展欧几里得可以求乘法逆元。乘法逆元的意思就是对于a,p，若存在b使得ab%p=1，则称b为a对p的乘法逆元。那么这个b有什么意思呢？对于一个数x，x/a%p=x*b%p（a可以整除x）。这样的话，就可以将除法变为乘法，那么为什么上式成立呢？设x=k*a,则x/a%p=k%p=(k%p)*(ab%p)=(k*a*b)%p=x*b%p。那么怎么求b呢？ab%p=1,我们可得ab=kp+1(k为某个整数),即ab-kp=1，令x=b,y=-k，则我们求出ax+py=1的一组解x,y即可。这个式子有解的充要条件是Gcd(a,p)=1.

证明如下：

(1)若Gcd(a,p)=1,有欧拉定理，设Ψ(x)表示x的欧拉函数（Ψ(x)是一个数，是[1,x-1]中与x互质的数的个数），(a^Ψ(x))%p=1,所以b=a^(Ψ(x)-1)就是一个答案；

(2)若ab%p=1，则ab=kp+1,ab-kp=1,设Gcd(a,p)=d，则d必能整除1，所以d只能是1。

这样的话就能用上面的代码求了。。。